Римановы поверхности и модулярные формы. Занятие 1

Курс посвящен римановым поверхностям, модулярным формам и некоторым их приложениям. Эти фундаментальные понятия, играющие важную роль в самых разных разделах математики, можно определить при помощи верхней полуплоскости – множества комплексных чисел с положительной мнимой частью, – которую мы будем рассматривать как модель Пуанкаре плоскости Лобачевского.
Соответствующие определения будут даны в курсе. Будет показано, что движения плоскости Лобачевского совпадают с дробно-линейным преобразованиями полуплоскости, а дискретные группы движений приводят к замощениям плоскости Лобачевского конгруэнтными многоугольниками (сторонами которых, с точки зрения евклидовой геометрии, являются дуги окружностей). Отождествляя между собой подходящие стороны одного из таких многоугольников (или отождествляя точки, лежащие на одной орбите относительно заданной дискретной группы движений), мы получаем риманову поверхность («сферу с ручками» с числом ручек не менее двух).
Мы увидим, что подгруппам группы целочисленных матриц размера $2\times 2$ с определителем единица соответствуют римановы поверхности, и изучение функций на таких поверхностях приводит к понятию модулярной формы. Модулярные формы – это функции на верхней полуплоскости, удовлетворяющие определенным функциональным уравнениям, связанным с рассматриваемой группой.
Этот подход к понятиям римановой поверхности и модулярной формы будет подробно описан в начале курса.
Затем мы увидим, что некоторые поразительные числовые тождества получают естественное объяснение на языке модулярных форм. Общий принцип здесь такой: модулярных форм мало, поэтому между ними можно ожидать нетривиальных соотношений.
Модулярные формы возникают в самых разных областях математики. Например, Великая Теорема Ферма была доказана в качестве следствия гипотезы Таниямы–Шимуры–Вейля (ныне имееющей статус теоремы) о связи эллиптических кривых с модулярными формами.
Мы рассмотрим некоторые применения модулярных форм. В частности, мы докажем единственность решетки Лича – замечательной решетки в 24-мерном пространстве.
От слушателей предполагается знакомство с комплексными числами и началами анализа.