Введение в двенадцатую проблему Гильберта. Занятие 1

Явно построить конечное расширение поля – означает, в сущности, свести задачу нахождения решений уравнения высокой степени к более простой задаче.
Исторически первым примером была проблема решения уравнений в радикалах. Окончательный ответ был дан Галуа в первой половине XIX века. Обнаружилось, что уравнение решается в радикалах, если его группа Галуа разрешима. Однако чтобы добраться до решений, приходится последовательно извлекать корни, а распараллелить процедуру в общем случае невозможно.
Простейший подкласс разрешимых групп – коммутативные (или абелевы) группы. Случай абелевых расширений исследовал Куммер. Его конструкция работает, если поле коэффициентов содержит достаточно много корней из единицы (тем больше, чем выше степень уравнения), и поэтому применима не ко всем абелевым расширениям.
Для того, чтобы избавиться от этого условия и универсально сконструировать все абелевы расширения поля $\mathbb Q$, понадобились десятилетия. Ответ дала теорема Кронекера–Вебера, утверждающая, что такие расширения порождаются корнями из единицы или, что тоже самое, значениями $\exp(2\pi iz)$ в рациональных $z$.
В своём знаменитом докладе на математическом конгрессе в 1900 году Гильберт сформулировал общую задачу: построить абелевы расширения любого конечного расширения поля $\mathbb Q$ по аналогии с предыдущей теоремой.
Очередным шагом стала теория комплексного умножения эллиптических кривых, позволившая обосновать исследованную ещё Кронекером конструкцию и решить проблему для мнимоквадратичных расширений $\mathbb Q$.
В курсе лекций вышеизложенное будет объяснено с разумной мерой детализации, после чего будет дан обзор современного состояния проблемы.

Программа курса
Теория Галуа. Расширения Куммера. Идеалы в кольцах алгебраических чисел. Разложение расширений. Ветвление. Поля классов. Закон взаимности. Эллиптические функции. Комплексное умножение. СМ-поля. Гипотезы Старка.

Предполагается, что слушатели знают простейшие свойства групп, колец и полей, и слыхали про $p$-адические числа и функции комплексной переменной.