3264 и все такое: введение в исчислительную геометрию. Занятие 1

Исчислительная геометрия занимается подсчетом числа геометрических объектов, удовлетворяющих данных условиям. Первой задачей исчислительной геометрии принято считать задачу Аполлония (III в. до н.э.) о числе окружностей, касающихся трех данных окружностей. Как известно всем любителям геометрии, таких окружностей может быть не более восьми, и все их можно построить циркулем и линейкой.
С точки зрения проективной геометрии окружности можно рассматривать как коники (кривые второго порядка) на комплексной проективной плоскости, проходящие через две фиксированные бесконечно удаленные точки. Поэтому задача Аполлония есть задача о подсчете числа коник, заданных пятью условиями (прохождение через две точки и касание трех коник). В 1848 году Якоб Штейнер обобщил эту задачу: он предложил найти число коник, касающихся пяти данных коник. Однако полученный им ответ – 7776, или 65 – оказался неверным. Это показал в 1864 году Мишель Шаль; он же получил и верный ответ – 3264. Метод решения задачи о пяти кониках, предложенный Шалем, был впоследствии очень далеко обобщен Германом Шубертом, который использовал для него термин «исчисление условий» – а сегодня этот метод называется исчислением Шуберта.
В курсе мы увидим, как работает исчисление Шуберта; задача Штейнера будет для нас основным, хотя и далеко не единственным примером.
Для понимания курса потребуется знание линейной алгебры в объеме первого курса (одиннадцатиклассники тоже могут попробовать). Знакомство с началами проективной геометрии также приветствуется, хотя необходимые сведения из этой области я планирую напомнить.