RUS  ENG
Полная версия
ВИДЕОТЕКА
Летняя школа «Современная математика», 2016
20 июля 2016 г. 11:45, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»

Меры Пальма. Занятие 1

А. И. Буфетов, Д. И. Зубов



Аннотация: Каковы шансы 18-летнего москвича дожить до 80 лет?
Джон Граунт, изучавший таблицы смертности (bills of mortality, [3]) лондонцев ещё в середине XVII века, считается предтечей теории точечных процессов, изучающей последовательности неразличимых событий, происходящих через случайные промежутки времени.
Например, в процессе Пуассона количества событий в непересекающихся интервалах времени независимы. Таким образом можно моделировать приход автобусов на остановку. Если автобус ходит по Пуассону в среднем раз в 10 минут, а мы приходим на остановку каждый день в одно и то же время, то мы будем ждать следующего автобуса в среднем десять минут (отнюдь не пять!). В этом состоит парадокс времени ожидания.
Разбирая парадокс, мы придём к мерам Пальма – условным мерам при условии события в данный момент времени. Отправляясь от введённой Пальмом в [7] функции, меры Пальма подробно изучил в работе [5] А.Я. Хинчин (см. также [6]).
bu-pic1.png
Конрад Пальм (1907–1951)

bu-pic2.png
Александр Яковлевич Хинчин (1894-1959)

Во второй части курса мы рассмотрим так называемые детерминантные точечные процессы, моделирующие поведение газа заряженных частиц, а также (гипотетически) распределение нулей дзета-функции Римана. В этой модели частицы влияют друг на друга на сколь угодно большом расстоянии.
bu-pic34.png
На левом рисунке частицы иногда накапливаются, а на правом отталкиваются под действием кулоновской силы

На левом рисунке частицы иногда накапливаются, а на правом отталкиваются под действием кулоновской силы.

Главный результат второй части курса — явное описание [1] условных мер Пальма детерминантных процессов.

План курса
  • История точечных процессов: от таблиц смертности к теории массового обслуживания.
  • Пуассонов процесс и парадокс времени ожидания.
  • Теорема Пальма–Хинчина.
  • Гиббсовское свойство. Условные меры детерминантных точечных процессов.

Доказательства в курсе используют только сведения, входящие в школьную программу (дифференцировать и интегрировать функции одной переменной всё же понадобится), и наш курс вполне доступен увлечённому школьнику.

Website: https://www.mccme.ru/dubna/2016/courses/bufetov.html

Список литературы
  1. Alexander I. Bufetov, Conditional measures of determinantal point processes
  2. D.J. Daley, D. Vere-Jones, An Introduction to the Theory of Point Processes, Elementary Theory and Methods, v. I, Springer-Verlag, New York, 2003
  3. John Graunt, Observations on the London bills of mortality, 1662
  4. А.Н. Колмогоров, “Sur le problème d'attente”, Мат. сборн., 38:1–2 (1931), 101–106
  5. А.Я. Хинчин, “Математические методы теории массового обслуживания”, Тр. МИАН СССР, 49 (1955), 3–122
  6. А.Я. Хинчин, “Математическая теория стационарной очереди”, Мат. сборн., 39:4 (1932), 73–84
  7. C. Palm, “Intensitätsschwankungen im Fernsprechverkehr”, Ericsson Technics, 44 (1943), 1–189

Цикл лекций

© МИАН, 2024