Аннотация:$S^1$-расслоение – это формализация понятия непрерывного семейства окружностей. Примерами таких расслоений служат пространства векторов единичной длины, касательных к сфере или произвольной двумерной поверхности, а также расслоение Хопфа (мы подробно его изучим на занятиях).
Большинство из приведенных примеров не являются тривиальными расслоениями, то есть не сводятся к прямому произведению окружности на пространство параметров. Топологическим препятствием для тривиальности расслоения служит так называемый инвариант Чженя-Эйлера. Мы приведем полную классификацию $S^1$-расслоений над двумерными поверхностями, а также приведем множество эквивалентных описаний инварианта Чженя-Эйлера – от комбинаторных до дифференциально-геометрических и интегральных, а также обсудим, каким образом все это связано с геометрией бесконечномерного комплексного проективного пространства. $S^1$-расслоения, будучи довольно наглядным и простым объектом, служат хорошей моделью для введения в современную теорию препятствий и характеристических классов.
Большая часть курса будет состоять из вполне наглядных картинок, осмысление которых доступно школьникам. В отдельных случаях потребуются некоторые факты, известные студентам-первокурсникам, не обремененным, впрочем, регулярными знаниями в топологии.
