Покрытия арифметическими прогрессиями. Занятие 1

Основной предмет, изучающийся в курсе – покрытие множества всех целых чисел конечным числом арифметических прогрессий. Поскольку каждая прогрессия из целых чисел задаётся сравнением вида $x \equiv a$ (mod $m$), часто говорят о покрытиях системой сравнений.

Вопросы, в которых оказываются полезными такие покрытия, возникают в разных областях математики. Мы, в частности, поговорим о следующих вопросах:

• Конечно или бесконечно множество нечетных чисел, не представимых в виде суммы или разности степени двойки и простого числа?
• Вершины правильного нечетноугольника разбиты на несколько множеств, каждое также является множеством вершин правильного многоугольника. Тогда среди полученных многоугольников есть три равных.
• При каких целых $d$ существует многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами $(f(1) \ne -d)$ такой, что при всех $n$ многочлен $x^nf(x) + d$ раскладывается в произведение двух многочленов с целыми коэффициентами (отличных от $\pm1$)?

Мы увидим, что первые два вопроса решаются автоматически после введения правильного языка. Третий же (не решенный до сих пор) тесно связан с одной из самых известных гипотез в изучаемой области.
Структура покрытий прогрессиями весьма богата и сложна (а также интересна) для изучения. Мы увидим, как можно (и нужно!) один и тот же объект описать на совершенно различных языках – комбинаторном, теоретико-числовом, алгебраическом и т. п. Каждый из таких подходов приносит свои плоды (а также приводит к постановке новых открытых вопросов).
От слушателей предполагается знакомство с комплексными числами и Китайской теоремой об остатках.