The distribution of lattice points on the hyperboloid

Пусть $d$ – целое число,
$$ K_{\mathbb{Z}}(d)\,=\,\bigl\{(a,b,c)\in \mathbb{Z}^{3}\,\:\,b^{2}-4ac\,=\,d\bigr\} $$
– множество целых точек на гиперболоиде
$$ \bigl\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb{R}^{3}\,:\,x_{2}^{2}-4x_{1}x_{2}\,=\,d\bigr\}, $$
двуполостном при $d<0$ и однополостном при $d>0$, и пусть
$$ K_{\mathbb{Z}}^{+}(d)\,=\,\bigl\{(a,b,c)\in K_{\mathbb{Z}}(d)\,\:\,c>0\bigr\}. $$
Множество $K_{\mathbb{Z}}(d)$ непусто тогда, и только тогда, когда $d\equiv 0,1 \pmod 4$. Такие целые числа $d\ne 0$ называются дискриминантами, поскольку элементы $K_{\mathbb{Z}}(d)$ параметризуют бинарные квадратичные формы $Q(u,v) = au^{2}+buv+cv^{2}$ дискриминанта $d$ с целыми коэффициентами.
Пусть, далее, $\delta_{q}(m) = 1$,если $m\equiv 0 \pmod q$ и $\delta_{q}(m) = 0$ в противном случае. Абсолютно сходящийся в области $\Re s > 1$ ряд Дирихле
$$ \sum\limits_{c=1}^{+\infty}\biggl(\,\sum\limits_{b \pmod{2c}}\delta_{4c}(b^{2}-d)\biggr)\frac{1}{c^{s}}\,=\,\frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}\,G_{d}(s)\quad (d\ne n^{2}) $$
определяет целую функцию $G_{d}(s)$. Имеет место следующая
Теорема. Пусть $d\ne n^{2}$, $d\equiv 0,1 \pmod 4$, и пусть $\varphi(x,y)$ – бесконечно дифференцируемая комплекснозначная функция на $\mathbb{R}\times (0,+\infty)$ с компактным носителем. Тогда для любого фиксированного $\varepsilon > 0$ справедливо равенство
$$ \sum\limits_{(a,b,c)\in K_{\mathbb{Z}}^{+}(d)}\varphi\biggl(\frac{b}{2c},\frac{\sqrt{|d|}}{2c}\biggr)\,= $$

$$ =\,\frac{3}{\pi^{2\mathstrut}}\,\sqrt{|d|}G_{d}(1)\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}\varphi(x,y)\,\frac{dx\,dy}{y^{2\mathstrut}}\,+\,O_{\varphi,\varepsilon}\bigl(|d|^{1/2-1/12+\varepsilon}\bigr). $$