Пространства Тейхмюллера. Занятие 1

В центре внимания курса — поверхность рода g (= сфера с g ручками). С ней связана замечательная тройка, которую мы собираемся изучать, сделав акцент на первых двух объектах:

• Группа классов отображений (= модулярная группа поверхности),
• Пространство Тейхмюллера,
• Пространство модулей алгебраических кривых.

В простых словах, о чем этот курс? Если у (обычного плоского) квадрата склеить противолежащие стороны, то получится тор с плоской метрикой, то есть каждый достаточно малый участок тора будет устроен как кусочек евклидовой плоскости. Если квадрат заменить на прямоугольник или параллелограмм, аналогичная склейка тоже даст тор с плоской метрикой, но про него разумно сказать — это другой тор, не изометричный первому. Здесь история о поверхностях с плоской метрикой заканчивается, так как никакую другую поверхность (с плоской метрикой) кроме этих торов из куска евклидовой плоскости склеить нельзя.
Поэтому мы евклидову плоскость заменим на плоскость Лобачевского (с ней больше свободы!) и определим пространство Тейхмюллера как пространство, элементы которого суть все возможные способы склеить поверхность рода g из гиперболической развертки, то есть, из некоторого куска гиперболической плоскости.