RUS  ENG
Полная версия
ВИДЕОТЕКА
Летняя школа «Современная математика», посвященная памяти Виталия Арнольда, 2017
21 июля 2017 г. 11:15, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»

Вокруг дзета-функции. Занятие 1

Р. М. Федоров



Аннотация: Дзета-функция Римана была введена Эйлером в 1737-м году. Она может быть задана рядом
$$ \zeta(s) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} $$
при тех значениях $s$, при которых этот ряд сходится. Я буду рассказывать, в основном, об обобщениях дзета-функции Римана — так называемой арифметической дзета-функции, которая ставится в соответствие диофантову уравнению (дзета-функция Римана соответствует «тривиальному» уравнению $x=0$).

Приблизительная программа курса:
  • Дзета-функция Римана и произведение Эйлера. Гипотеза о нулях дзета-функции.
  • Гауссовы числа и их дзета-функция. Количество представлений натурального числа в виде суммы двух квадратов.
  • Дзета-функция квадратичного поля и представления чисел в виде $x^2+dy^2$ при фиксированном $d$.
  • Арифметическая дзета-функция, локальная дзета-функция и гипотезы Вейля (=Теоремы Делиня).
  • Эллиптические кривые и гипотеза Бёрча и Свиннертона–Дайера.
  • К-группа многообразий и мотивная дзета-функция.

Ожидается, что слушатели знают, что такое сумма ряда (хотя бы на интуитивном уровне), встречались с комплексными числами и конечными полями (хотя бы с полем из $p$ элементов, где $p$ — простое).

Website: https://www.mccme.ru/dubna/2017/courses/fedorov.html
Цикл лекций

© МИАН, 2024