О бильярдах и геодезических потоках с законами сохранения. Занятие 1

Известно, что многие физические процессы описываются законами сохранения и принципом наименьшего действия: за данный промежуток времени определенная величина увеличивается на минимально возможную добавку. Миникурс посвящен двум фундаментальным классам математических систем с вышеупомянутыми свойствами, происходящих из задач механики, физики и оптики: бильярдам и геодезическим потокам.
Имеется ряд старых нерешенных и просто формулируемых проблем о бильярдах. Например, не известно, в каждом ли треугольном бильярде есть периодическая траектория. Выпуклый бильярд интегрируем, если существует непрерывное семейство непересекающихся замкнутых кривых (называемых каустиками), таких что всякая касательная к каждой кривой продолжается до бильярдной траектории, касающейся ее всеми своими ребрами. Эллиптические бильярды интегрируемы. Знаменитая открытая гипотеза Бирхгофа утверждает, что интегрируемы только они.
Геодезический поток, на замкнутой поверхности — это эволюция пар: точка и вектор, приложенный к ней. Движение точки на поверхности происходит со скоростью, равной приложенному вектору, модуль скорости постоянен, а длина пути, пройденного за данный промежуток времени, минимальна по всем близким путям, идущим от заданной начальной точки к заданной конечной точке. Кривая с таким свойством называется геодезической. Модуль скорости сохраняется: это — аналог закона сохранения кинетической энергии. Геодезический поток на поверхности называется интегрируемым, если имеется дополнительный закон сохранения, не выводящийся из предыдущего. Известно, что геодезические потоки на эллипсоиде и на двумерном торе со стандартной метрикой интегрируемы. Не известно, существуют ли метрики на поверхностях высшего рода и нестандартные метрики на торе с интегрируемыми геодезическими потоками.
В курсе будут обсуждены известные результаты и текущее состояние дел по вышеупомянутым открытым проблемам. В частности, мы обсудим:

• треугольные орбиты в остроугольных треугольных бильярдах;
• интегрируемость эллиптических бильярдов и теорема Понселе;
• несчетное семейство каустик в выпуклом бильярде (В.Ф.Лазуткин);
• решение частных случаев гипотезы Бирхгофа;
• связь прямоугольного бильярда и геодезического потока на торе, вывод основной альтернативы для орбит бильярда: плотность или периодичность;
• интегрируемость геодезического потока на двумерном эллипсоиде;
• интегрируемый эллиптический бильярд как предел геодезического потока на уплощающемся эллипсоиде.

Курс будет рассчитан на студентов младших курсов и, я надеюсь, его большая часть будет понятна школьникам, начиная с 10 класса.