Математика шарнирных механизмов. Лекция

С математической точки зрения, плоский шарнирный механизм — это система прямолинейных ребер на евклидовой плоскости, связанных шарнирами; часть шарниров закреплены («привинчены» к плоскости), а остальные могут свободно двигаться (вместе с ребрами) но так, чтобы не разрывались связи, определяющие систему. Реальными примерами шарнирных механизмов могут служить пентограф, инверсор Липкина–Поселье, ламбда-механизм Чебышева, стеклоочиститель автомобиля, различные манипуляторы в робототехнике. Основной мотивацией их изучения в 18–19 веке послужило сознание различных индустриальных механизмов, в которых было необходимо преобразовывать движение одного типа в движения другого типа, скажем вращательное в колебательное или прямолинейное во вращательное.
В лекции сначала будут рассмотрены примеры, показывающие как работают классические шарнирные механизмы; работа некоторых будет иллюстрироваться мультфильмами. Затем будет определено важное понятие конфигурационного пространства (оно же — пространство модулей) шарнирного механизма, будут найдены эти пространства для некоторых классов шарнирных механизмов. Будет обсуждаться и обратная задача: как создать шарнирный механизм с данным конфигурационным пространством, в частности знаменитая «теорема о подписи» Thurston'а, утверждающая, что существует шарнирный механизм, точно подделывающий вашу подпись.
Для полного понимания этой лекции никаких знаний сверх школьной программы не потребуется, однако следует понимать, что хотя общие основные теоремы формулируются элементарно, их доказательства (на лекции их не будет!) требуют весьма продвинутых знаний в нескольких разделах современной математики. Так, в последних работах на эту тему (а тема очень жива) используется алгебраическая геометрия, топология, дифференциальные уравнения, теория Морса и другие науки.