Аннотация:
Рассматриваются натуральные гамильтоновы системы с гамильтонианом.
$H = |p|^2 / 2 + V(q)$. Конфигурационное пространство $M = \{q\}$ –
замкнутая поверхность (для некомпактного $M$ требуются некоторые
условия на бесконечности). Ранее было показано, что если потенциальная
энергия $V$ имеет $n > 2\chi(M)$ особых точек ньютонова типа, то
система
неинтегрируема и имеет положительную топологическую энтропию на каждом
уровне энергии $H=h > \sup V$. В представленных работах это утверждение
обобщается на случай, когда $V$ имеет несколько особых точек $a_j$ типа
$V(q) \sim -\operatorname{dist} (q,a_j)^{-\alpha_j}$, $\alpha_j > 0$.
В первой работе рассматривается задача о существовании инвариантов,
которые
полиномиальны по импульсам и являются интегралами при фиксированных
значениях
полной энергии (условные по Биркгофу интегралы). Пусть $1\le\alpha_j <
2$.
Если
\begin{equation}
\label{1}
\sum_{j=1}^n \alpha_j > 2\chi(M),
\end{equation}
то нет условных по Биркгофу первых интегралов при каждом $h > \sup V$.
Если в (\ref{1}) имеет место равенство и существует условный интеграл
степени $k$, то все числа $k\alpha_j$ целые.
Во второй работе условие (\ref{1}) заменено более слабым условием
\begin{equation}
\label{2}
\sum_{k=2}^\infty n_k A_k > 2\chi(M).
\end{equation}
Здесь $A_k = 2-2/k$, $k\in\mathbb{N}$ и $n_k$ – число особых точек
потенциала таких, что $A_k\le\alpha_j < A_{k+1}$. Показано, что если
выполнено (\ref{2}), то система имеет компактное хаотическое
инвариантное
множество траекторий без столкновений на любом уровне энергии
$H=h > \sup V$. это чисто топологический результат. Он не использует
аналитических свойств потенциальной энергии, кроме наличия особых
точек. В частности, если выполнено (\ref{2}), то нет условных по
Биркгофу интегралов.
Список литературы
С. В. Болотин, В. В. Козлов, “Топологический подход к обобщенной задаче $n$ центров”, УМН, 72:3(435) (2017), 65–96; S. V. Bolotin, V. V. Kozlov, “Topological approach to the generalized $n$-centre problem”, Russian Math. Surveys, 72:3 (2017), 451–478
С. В. Болотин, В. В. Козлов, “Топология, сингулярности и интегрируемость в гамильтоновых системах с двумя степенями свободы”, Изв. РАН. Сер. матем., 81:4 (2017), 3–19; S. V. Bolotin, V. V. Kozlov, “Topology, singularities and integrability in Hamiltonian systems with two degrees of freedom”, Izv. Math., 81:4 (2017), 671–687
