Интегрируемость геодезического потока в левоинвариантных субримановых задачах

Субриманова геометрия активно развивается последние два десятилетия. Большой интерес к ней вызван в первую очередь широким спектром приложений — от робототехники и вакономной механики, до управления квантовыми системами. По определению субриманово многообразие очень похоже на риманово. Так же как и в римановом случае в каждом касательном пространстве задано скалярное произведение, однако дополнительно в каждой точке задается подпространство допустимых направлений. Таким образом, субриманова задача заключается в отыскании кратчайших кривых (субримановых геодезических), скорости которых являются допустимыми в любой момент времени. Аналогично риманову случаю определяются понятия расстояния на многообразии, сферы и т.д. Изучение субримановых задач напрямую связано с явным интегрированием соответствующей гамильтоновой системы, которое не всегда возможно.

Здесь на первый план выходят левоинвариантные субримановы задачи на нильпотентных группах Ли, в частности, на группах Карно. Теорема Громова–Митчелла о нильпотентизации утверждает, что любая субриманова метрика в окрестности точки общего положения приближается левоинвариантной субримановой метрикой на некоторой группе Карно. Большое количество левоивнариантных задач изучены достаточно глубоко: явно найдены геодезические, построены сферы, исследованы их особенности, найдены точки разреза и т.д. Дело заключается в том, что левоинвариантные задачи обладают множеством симметрий, и геодезический поток часто интегрируется явно (иногда в элементарных функциях, а иногда в эллиптических). Так было до недавнего времени. В представленной работе Л.В. Локуциевским совместно с Ю.Л. Сачковым аналитически доказана неинтегрируемость по Лиувиллю гамильтоновых систем геодезического потока на свободных группах Карно глубины 4 и больше, что закрывает возможность явного исследования субримановых задач на этих группах.

Список литературы

1. Л.В. Локуциевский, Ю.Л. Сачков, “Неинтегрируемость по Лиувиллю субримановых задач на свободных группах Карно глубины 4”, Докл. РАН, 474:1 (2017), 19–21      ; L.V. Lokoutsievskiy, Yu.L. Sachkov, “Liouville nonintegrability of sub-Riemannian problems on free Carnot groups of step 4”, Dokl. Math., 95:3 (2017), 211-213      
2. Л.В. Локуциевский, Ю.Л. Сачков, “Неинтегрируемость по Лиувиллю субримановых задач на свободных группах Карно глубины 4”, Матем. сб., 2017 (в печати)