Мультипликативные графы и их приложения к уравнению $n-\varphi(n)=c$

Изучена общая задача: дано натуральное число $c$ и мультипликативные функции $f$, $g$. Требуется определить число решений уравнения
$$ f(n)\,-\,g(n)\,=\,c. $$
Доказано, что если наложить на функции $f, g$ и решения этого уравнения определенные ограничения (в частности, что $f(n) > g(n)$ при $n > 1$), то это уравнение имеет не более $c^{\,1 - \varepsilon}$ решений. Для числа $J(c)$ решений уравнения
$$ n - \varphi(n) = c $$
получена следующая формула:
$$ J(c)\,=\,G(c + 1) + O(c^{\,3/4 + o(1)}), $$
где $G(k)$ - количество представлений $k$ суммою двух простых чисел. Для получения этого результата мы будем использовать мультипликативные графы.