Небольшая прогулка от стандартной сферы к сфере Пуанкаре, занятие 1

Цель нашей прогулки — немного поговорить о многообразиях. Многообразие это центральный объект исследований в любой геометрии (гладкое многообразие — в дифференциальной, симплектическое — в симплектической, алгебраическое — в алгебраической, и т. д.); многообразие есть обобщение понятия “пространство”, которым оперируют в школьных курсах и геометрии, и физики.
Наша прогулка будет пешей — мы не предполагаем никаких технических средств, а будем следовать логике создателей и первых исследователей. Именно поэтому мы выбрали в качестве основного примера сферу — самое простое компактное многообразие. Но как исследовать и различать более сложные многообразия?
Анри Пуанкаре на рубеже XIX–XX веков ввел первые топологические инварианты — гомотопии и гомологии — и предположил, что совпадения этих инвариантов достаточно для того, чтобы многообразие было изоморфно сфере в размерностях 3 и 4. Сначала его гипотеза касалась более грубых инвариантов — гомологий, но была опровергнута им самим построением знаменитой гомологической трехмерной сферы Пуанкаре (после необходимого уточнения в гомотопических терминах гипотеза оказалась верной, но для ее доказательства потребовалось почти 100 лет).
Мы попробуем разобраться в конструкции Пуанкаре на уровне идеи, оставляя в качестве домашнего чтения для любознательного юношества замечательную книгу Ф. Клейна об икосаэдре.