Проективные плоскости с разных сторон. Семинар 1

Курс будет состоять из четырех сюжетов, объединенных общим объектом исследования, в качестве которого выступят проективные плоскости, но довольно разных по подходам и методам.
Первый сюжет будет касаться абстрактной теории проективных плоскостей. Обычная проективная плоскость, получаемая добавлением бесконечно удаленных точек к привычной нам евклидовой плоскости, обладает следующими двумя свойствами: (1) любые две различные точки лежат на единственной прямой и (2) любые две различные прямые пересекаются в единственной точке. Можно взять эти два свойства в качестве определения и называть проективной плоскостью любое множество (элементы которого называются точками) с набором выделенных подмножеств (называемых прямыми), если выполнены условия (1) и (2). (Обычно еще добавляют условие, что найдутся четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой.) Важнейшим классом проективных плоскостей являются проективные плоскости $\mathbb{KP}^2$ над полем или телом $\mathbb{K}$. Мы увидим, что на таких плоскостях всегда имеет место теорема Дезарга, а коммутативность $\mathbb{K}$ отвечает выполнению теоремы Паппа. Кроме того, мы обсудим примеры недезарговых конечных проективных плоскостей. Эта тематика тесно связана с теорией конечных полей.
Второй сюжет относится к топологии проективных плоскостей $\mathbb{RP}^2$, $\mathbb{CP}^2$ и $\mathbb{HP}^2$ над полями вещественных $\mathbb R$ и комплексных $\mathbb C$ чисел и телом кватернионов $\mathbb{H}$. На этих трех примерах мы обсудим основные понятия теории Морса, а также поговорим об инварианте Хопфа непрерывных отображений сфер $S^{4n-1}\to S^{2n}$ и о знаменитой теореме Адамса об отображениях с инвариантом Хопфа, равным одному. Также мы построим замечательные вложения $\mathbb{RP}^2\hookrightarrow S^4$, $\mathbb{CP}^2\hookrightarrow S^7$ и $\mathbb{HP}^2\hookrightarrow S^{13}$ и обсудим их свойства. (А есть еще вложение $\mathbb{OP}^2\hookrightarrow S^{25}$, где $\mathbb{O}$ — алгебра октав!)
В третьем сюжете мы перейдем от топологии к геометрии: научимся вводить на проективных плоскостях $\mathbb{RP}^2$, $\mathbb{CP}^2$ и $\mathbb{HP}^2$ метрики, называемые метриками Фубини–Штуди, изучим их группы изометрий и докажем, что они имеют положительную секционную кривизну. Неформально говоря, это означает, что выпущенные из одной точки геодезические на них расходятся медленнее, чем на евклидовой плоскости. Свойство положительной секционной кривизны замечательно тем, что оно крайне редкое: примеров многообразий, на которых люди умеют вводить такие метрики, очень мало. Если хватит времени, я постараюсь рассказать еще о трех примерах таких многообразий — многообразиях Уоллаха $W^6$, $W^{12}$ и $W^{24}$, тесно связанных с упоминавшимися выше вложениями проективных плоскостей в сферы.
Наконец, последний сюжет будет посвящен неассоциативной алгебре октав $\mathbb{O}$ и конструкции соответствующей проективной плоскости $\mathbb{OP}^2$. Мы увидим, что эта проективная плокость недезаргова, что связывает этот сюжет с первым.
Пререквизиты. Я буду рассчитывать на знакомство слушателей с началами линейной алгебры (операторы, матрицы, собственные векторы), комплексными числами и основными свойствами полей. Знакомство с теорией конечных полей, топологией и дифференциальной геометрией предполагаться не будет.
Предупреждение. Это не будет курс по проективной геометрии — я не планирую обсуждать такие классические темы, как проективные преобразования, двойное отношение, коники на проективной плоскости и т. п.