Аннотация:
Пусть $F\colon \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$ — полиномиальное отображение
комплексного пространства в себя. Когда оно обратимо? Необходимым условием является
локальная обратимость в каждой точке. Знаменитая проблема Якобиана утверждает,
что это условие является достаточным. В течение более чем 20 лет, вплоть до
1968 года, проблема Якобиана считалась решённой для $n=2$, с тех пор каждые
несколько месяцев появляются новые «доказательства».
С проблемой Якобиана тесно связана гипотеза Диксмье, формулировка
которой для $n=1$ выглядит невинно: пусть $P$, $Q$ — многочлены от $x$ и
$(d/dx)$, причём $PQ – QP=1$. Верно ли, что $(d/dx)$ можно выразить через $P$ и
$Q$. Это утверждение до сих пор не доказано. Недавно удалось доказать
эквивалентность этого утверждения проблеме Якобиана для $n=2$. Стабильная
эквивалентность гипотезы Якобиана и Диксмье доказана в работе
arXiv:math/0512171.
Доказательство использует аналогию между классическими и квантовыми объектами.
Предполагается дать элементарное объяснение этой аналогии, а также обсудить
гипотезы Концевича. Первая часть доклада является введением в проблему и
предполагает быть вполне элементарной.
Другое, близкое, утверждение именуется теоремой Абьенкара—Моха
и выглядит как олимпиадная задача (каковой и является). Пусть $P$, $Q$, $R$ —
многочлены, причём $R(P(x),Q(x))=x$. Доказать, что либо степень $P$ делит
степень $Q$, либо наоборот.
