Неравенства концентрации и доказательства теорем существования. Семинар 1

В курсе планируется обсудить принцип концентрации вероятности, который, без технических деталей, можно сформулировать так: разумные функции от большого числа переменных с большой вероятностью ведут себя, как постоянные. Хотя сами теоремы концентрации имеют вероятностную формулировку, их приложения вышли далеко за рамки одной теории вероятностей и оказали большое влияние на развитие анализа и геометрии конечномерных пространств.

В рамках курса планируется доказать несколько классических результатов о концентрации, включая концентрацию для равномерного распределения на булевом кубе и для многомерного нормального распределения, а также обсудить их приложения для доказательства теорем существования на примере теоремы Джонсона—Линденштрауса о малом искажении и, если хватит времени, теоремы Дворецкого о почти сферических сечениях.

Пререквизиты. В начале курса будет достаточно школьных представлений о производной и вероятности. Во второй половине курса будет полезно знакомство, хотя бы на интуитивном уровне, с базовыми понятиями анализа и вероятности в объеме первых двух курсов университета (математическое ожидание в общем случае, кратный интеграл).