Последовательности Сомоса. Семинар 1

Первый нетривиальный пример последовательности Сомоса — это последовательность Сомос-4, которая задаётся рекуррентным соотношением
$$s_{n+2}s_{n-2}=s_{n+1}s_{n-1}+s_n^2.$$
Общую формулу для $s_n$ нельзя выписать, используя элементарные функции. Детальное изучение этой последовательности неизбежно приводит в мир эллиптических кривых и эллиптических функций. Однако некоторые свойства последовательностей Сомоса четвёртого порядка, такие как целочисленность и периодичность по любому модулю, можно доказать и не прибегая к глубоким теориям. При этом появляется много причудливых на первый взгляд фактов и формул, отражающих «эллиптическую» природу последовательности.

В курсе мы рассмотрим разные подходы к последовательностям Сомос-4: элементарный, использующий эллиптические кривые и основанный на эллиптических функциях. Если останется время, поговорим о последовательностях Сомоса как об объектах из мира тропической арифметики.

Пререквизиты. Для понимания курса желательно знакомство с понятием ранга матрицы и с определителями.