Вычислительная гомогенизация параболических уравнений с эффектами памяти для периодической гетерогенной среды

В теории гомогенизации математические модели на макроуровне строятся на основе решения вспомогательных краевых задач на микроуровне в пределах одной ячейки периодичности. Эти задачи формулируются с помощью асимптотических разложений решения по малому параметру, который представляет собой характерный размер пространственной неоднородности. При изучении уравнений диффузии с контрастными коэффициентами особое внимание уделяется нелокальным моделям со слабопроводящими включениями. В этом случае процессы макроуровня описываются интегро-дифференциальными уравнениями, где разностное ядро определяется решением нестационарной задачи на ячейке.
Целью данной работы является разработка вычислительного алгоритма для гомогенизации нестационарных процессов с учетом эффектов памяти. Эффективный диффузионный тензор вычисляется с помощью стандартной численной процедуры, основанной на дискретизации пространства методом конечных элементов. Ядро памяти аппроксимируется суммой экспонент, полученных из решения частичной спектральной задачи на ячейке периодичности. Нелокальная задача макроуровня преобразуется в локальную, где эффекты памяти учитываются через решение вспомогательных нестационарных задач. Используются стандартные двухслойные схемы дискретизации по времени, доказана безусловная устойчивость дискретных решений в соответствующих нормах. Ключевые аспекты предлагаемой технологии вычислительной гомогенизации иллюстрируются путем решения двумерной модельной задачи.