Эйлерова характеристика. Лекция 1

Число В вершин, число Р ребер и число Г граней выпуклого многогранника связаны соотношением В-Р+Г=2. Легко сообразить, что это широко известное утверждение не имеет прямого отношения к выпуклости: если на боку выпуклого многогранника сделать вмятину, то он перестанет быть выпуклым, а количество вершин, ребер и граней сохранится. В то же время для совершенно произвольного многогранника теорема неверна.

Если на сфере определена гладкая функция, то ее критические точки (точки, где производные равны нулю, то есть точки, в окрестности которых функция меняется медленнее обычного) бывают, в простейшем случае, трех типов — локальные минимумы, локальные максимумы и седла (точки, в окрестности которых график функции выглядит как горный перевал). Количество $X$ максимумов, количество $N$ минимумов и количество $S$ седел связаны соотношением $X-S+N=2$. Если сделать на сфере вмятину или просто заменить сферу эллипсоидом, это соотношение сохранится. Но на произвольной поверхности формула неверна.

В данном курсе мы выясним, в каких именно случаях эти утверждения верны и почему на самом деле это — одна и та же теорема. Также мы разберемся, как выглядят аналогичные утверждения для других поверхностей, и не только для поверхностей (а, например, для графов или для многомерной сферы).

Величина, стоящая в правой части этих и подобных утверждений, называется эйлеровой характеристикой.