Квантовые группы, узлы и полином Джонса. Лекция 1

Изучение узлов – одна из классических задач топологии. По научному, узел – это вложение окружности в $\mathbb R^3$. Одна из основных задач при изучении узлов – построить инварианты, которые будут различать разные узлы. Существуют разные подходы к построению таких инвариантов, и нас будет интересовать один – диаграмный. При этом подходе, узел проектируется на плоскость, его проекция называется диаграммой. По диаграмме можно построить инвариант.
Один из самых известных инвариантов, который получается таким образом – это полином Джонса, построенный Джонсом в 1984 году (и ставший одним из ингредиентов его филдсовской медали). Этот полином можно определить элементарным образом, однако из этого элементарного определения не видно одного – почему он существует!
Один из способов доказывать существование (открытый Тураевым и отличный от исходного способа Джонса) состоит в исползовании квантовых групп. Квантовые группы восходят к работам ленинградской мат-физической школы по квантовой статистической физике, и, в полной общности, были определены Дринфельдом и Джимбо в 80-ых (что стало одним из ингридиентов филдсовской медали Дринфельда). Этим подходом мы и воспользуемся, при этом нам будет нужна только самая маленькая квантовая группа – $U_q(\mathfrak{sl}_2)$, для которой большой науки не требуется.
Лекция 1: алгебры Хопфа.
1) Алгебры Ли: определение алгебр Ли; представления алгебр Ли и их тензорные произведения; универсальная обертывающая алгебра.
2) Алгебры Хопфа, мотивация: тензорные произведения; двойственность.
3) Алгебры Хопфа, определение: биалгебры, антипод.
Лекция 2: квантовая группа $U_q(\mathfrak{sl}_2)$.
1) $U_q(\mathfrak{sl}_2)$, как алгебра Хопфа: $U_q(\mathfrak{sl}_2)$ как ассоциативная алгебра; структура алгебры Хопфа; предел при $q\to1$.
2) Представления алгебры $U_q(\mathfrak{sl}_2)$.
3) $R$-матрица: обсуждение; конструкция.
Лекция 3: группа кос.
1) Косы и квантовые группы: уравнение Янга–Бакстера; группа кос и ее представле- ние через $R$-матрицу.
2) Косы и узлы: топологическое определение косы; умножение; замыкание косы и теорема Александера; теорема Маркова (без доказательства).
Лекция 4: Полином Джонса.
1) Полином Джонса через $R$-матрицу.
2) Дополнения.