Аннотация:
Топология слоения Лиувилля для аналогов случая Ковалевской на алгебрах
Ли $\mathfrak{so}(4)$ и $\mathfrak{so}(3, 1)$.
Доклад посвящён топологическому анализу интегрируемых систем на алгебрах
Ли $\mathfrak{so}(4)$ и $\mathfrak{so}(3, 1)$, которые являются аналогами классического
интегрируемого случая Ковалевской в динамике твёрдого тела. Оказывается,
что классический случай Ковалевской, являющейся интегрируемой
гамильтоновой системой на алгебре Ли $\mathfrak{e}(3)$, может быть
включен в однопараметрическое семейство интегрируемых гамильтоновых
систем, заданных на пучке алгебр Ли $\mathfrak{so}(4) - \mathfrak{e}(3) -
\mathfrak{so}(3, 1)$. Системы на алгебры Ли $\mathfrak{so}(3, 1)$ изучены
относительно мало и иногда имеют достаточно экзотические некомпактные
бифуркации (например, как в случае Соколова), и поэтому представляют
особенный интерес. Случай же алгебры Ли $\mathfrak{so}(4)$ интересен тем, что
орбиты коприсоединённого представления в этом случае компактны, что
значительно упрощает анализ системы.
В докладе для рассматриваемых интегрируемых случаев на алгебрах Ли
$\mathfrak{so}(4)$ и $\mathfrak{so}(3, 1)$ мы
- построим бифуркационные диаграммы отображения момента,
- вычислим типы критических точек ранга ноль,
- опишем перестройки торов Лиувилля и круговые молекулы для особых
точек бифуркационной диаграммы.
После этого мы сравним результаты для алгебр Ли $\mathfrak{so}(4)$ и
$\mathfrak{e}(3)$ и покажем, что многие инварианты для классического
случая Ковалевской получаются из инвариантов систем на алгебре Ли
$\mathfrak{so}(4)$ в результате естественного предельного перехода.
|
