Аннотация:
1. Построена единая теория задач условной оптимизации при наличии связей в виде операторных уравнений, приведены общие методы решения таких задач, доказываются (разными методами) условия оптимальности для общей задачи условной оптимизации со связью в виде операторных уравнений, в частности, для задач оптимального управления эллиптическими системами. Из доказанных необходимых условий выводятся принцип максимума Понтрягина и правило множителей Лагранжа для этих задач. Для одного класса невыпуклых задач доказывается необходимое и достаточное условие оптимальности, т.е. на них обобщается теорема Кун-Таккера. Некоторые ранее известные утверждения теории оптимизации получены, как следствия утверждений этой теории.
2. Доказаны ряд теорем разрешимости оптимизационных задач со связями в виде эллиптических граничных задач. Вопрос существования оптимального коэффициента решается путем изучения свойств семейства решений уравнения состояния, соответствующего данному семейству коэффициентов, непосредственным построением минимизирующей последовательности и путем доказательства эквивалентных условий существования.
3. Построена теория выбора оптимальной области задания граничных задач, которая позволяет найти оптимальную область задания эллиптической системы с дифференциальным оператором любого порядка. В общем случае, для поиска оптимальной области нужно решить систему оптимальности, которую составляют уравнение состояния системы и сопряженное уравнение.
Исследования некоторых типов задач доведены до этапа использования пакетов прикладных программ для получения их решений в явном виде. Это относится к задачам оптимизации области задания граничных задач, оптимизации коэффициента нелинейного уравнения четвертого порядка. Для некоторых типов задач выписываются явные формулы решений. Обращено внимание на некоторые возможные обобщения теорем, не останавливаясь на подробностях.
|
