Алгебры операторов Лакса и интегрируемые системы

Алгебры операторов Лакса введены в [1] в связи с понятием оператора Лакса со спектральным параметром на римановой поверхности, ранее введенным И. М. Кричевером. Они представляют собой алгебры токов на римановых поверхностях со значениями в полупростых и редуктивных алгебрах Ли, и тесно связаны с конечномерными интегрируемыми системами, такими как системы Хитчина, Калоджеро–Мозера, классические волчки, задачи обтекания твердого тела. Во многих отношениях алгебры операторов Лакса аналогичны алгебрам Каца-Муди. Нескрученные алгебры Каца–Муди являются алгебрами операторов Лакса на римановой сфере с отмеченными точками $0$ и $\infty$.
Вплоть до конца 2013 года алгебры операторов Лакса были определены и построены только для классических алгебр Ли над $\mathbb C$ [1], [2], и для исключительной алгебры Ли $G_2$, в терминах их матричных представлений. Естественный, и стоявший в течение ряда лет вопрос об их общей конструкции в терминах систем корней, получил свое решение только в этом году [3]. Автор считает своим приятным долгом отметить роль Э. Б. Винберга в обсуждении этого вопроса.
В докладе будет дано общее определение алгебр операторов Лакса в терминах градуировок полупростых алгебр Ли, сформулированы их основные свойства. Будет установлена связь с параметрами Тюрина голоморфных расслоений на римановых поверхностях. Мы планируем сформулировать общий подход к построению конечномерных интегрируемых систем, основанный на том же круге идей.

Список литературы

1. И. М. Кричевер, О. К. Шейнман, “Алгебры операторов Лакса”, Функц. анализ и прил., 41:4 (2007), 46–59, arXiv: math.RT/0701648        ; I. M. Krichever, O. K. Sheinman, “Lax operator algebras”, Funct. Anal. Appl., 41:4 (2007), 284–294          
2. O. K. Sheinman, Current algebras on Riemann surfaces, De Gruyter Expositions in Mathematics, 58, Walter de Gruyter GmbH & Co, Berlin–Boston, 2012, 150 pp.  
3. O. K. Sheinman, “Lax operator algebras and gradings on semi-simple Lie algebras”, Transformation groups, arXiv: 1406.5017 (accepted)