Аннотация:
Задача о суммах произведений — доказать, что либо сумма, либо
произведение произвольного подмножества A из R близко к максимальному,
то есть к $|A|^{2-\epsilon}$, $\epsilon > 0$ — любое число — является важным
аддитивно-комбинаторным вопросом.
Недавно А. Балог сформулировал такую форму гипотезы о суммах
произведений : для любого подмножества действительных чисел A
выполнено $|AA+A| \gg |A|^{2-\epsilon}.$ Стандартные методы комбинаторной
геометрии дают здесь оценку $|AA+A| \gg |A|^{3/2}.$ В прошлом году Б.
Мэрфи – О. Роше-Ньютон и докладчик продвинулись в "двойственной"
задаче (то есть в которой сумма заменена на произведение и, наоборот),
а именно, они доказали, что $|A(A+A)| \gg |A|^{3/2+с}, с>0$ —
абсолютная константа. В докладе мы расскажем об аналогичном
продвижении в оригинальном вопросе Балога.
|
