Адиабатический предел в уравнениях Гинзбурга–Ландау и Зайберга–Виттена

В работах 1994-го года Зайберг и Виттен предложили новый вид инвариантов симплектических 4-мерных многообразий, которые строятся, исходя из предложенных ими уравнений, называемых ныне уравнениями Зайберга–Виттена. Оказалось, что эти новые инварианты тесно связаны с инвариантами Громова указанных многообразий, считающими число псевдоголоморфных кривых в заданном классе гомологий. Таубс даже предложил мнемоническое «уравнение»: Gr=SW, выражающее простую связь между инвариантами Зайберга–Виттена и Громова симплектического 4-мерного многообразия. В основе этого «уравнения» лежит замечательная конструкция, сопоставляющая решению уравнений Зайберга–Виттена псевдоголоморфную кривую, возникающую в так называемом адиабатическом пределе указанных уравнений.
У этой конструкции имеется и нетривиальный 3-мерный аналог, связанный с адиабатическим пределом в гиперболических уравнениях Гинзбурга–Ландау. Более того, адиабатический предел в уравнениях Зайберга–Виттена можно рассматривать как комплексную версию адиабатического предела в гиперболических уравнениях Гинзбурга–Ландау.
Двумерная редукция этих уравнений приводит к статическим уравнениям Гинзбурга–Ландау, называемым иначе вихревыми. Динамические уравнения Гинзбурга–Ландау не инвариантны относительно изменения масштаба, поэтому для того, чтобы получить из этих уравнений интересующую нас информацию, необходимо перейти в них к пределу, устремляя масштабный параметр к бесконечности. При переходе к указанному пределу необходимо также одновременно изменять масштаб времени, вводя т.н. «медленное время». Подобный предел и называется адиабатическим. Уравнения Гинзбурга–Ландау в этом пределе превращаются в адиабатические уравнения. Их решения, называемые адиабатическими траекториями, задаются геодезическими на пространстве модулей вихревых решений в метрике, порождаемой функционалом кинетической энергии.
В случае уравнений Зайберга–Виттена на компактном 4-мерном симплектическом многообразии адиабатический предел дает псевдоголоморфную кривую, которую можно рассматривать как комплексный аналог адиабатической траектории. Параметр вдоль этой предельной кривой играет роль «комплексного времени». В указанном пределе уравнения Зайберга–Виттена редуцируются к семейству вихревых уравнений, заданных в нормальных плоскостях к предельной псевдоголоморфной кривой. Предельная кривая и заданное на ней семейство вихревых решений должны удовлетворять адиабатическому уравнению, являющемуся комплексным аналогом адиабатического уравнения в 3-мерным случае.