Явное вычисление полиномов узлов с помощью квантовых R-матриц

Я расскажу о вычислении некоторых инвариантов узлов (полиномов ХОМФЛИ) с помощью R-матриц. Оказывается, что если с узлом связать четырехвалентный граф — проекцию узла на плоскость, то полином ХОМФЛИ узла можно определить как среднее от полной свертки некоторых операторов, стоящих в вершинах. Полученная таким образом величина будет топологически инвариантной, если на эти операторы выполнены определенные соотношения. Если, помимо этих соотношений, операторы удовлетворяют характреристическим уравнениям специального вида (скейн-соотношениям), то окажется, что инвариант произовольного узла, определенный как среднее от операторной свертки, можно вычислить с помощью соотношений между средними (тождеств Уорда), следующих из перечисленных операторных тождеств (дополненных условиями нормировки).
С другой стороны, для операторов можно написать явные выражения, пользуясь тем, что одно из условий топологической инвариантности (связанное с третьим движением Редемейстера) оказывается уравнением Янга-Бакстера, решения которого хорошо известны в теории интегрируемых систем. Метод R-матриц, в отличие от метода скейн-соотношений, позвляет также вычислять инварианты более общего вида: так называемые раскрашенные полиномы ХОМФЛИ. Кроме того, есть надежда адаптипровать этот метод для изучения так называемых суперполиномов узлов.
В своем сообщении я подробно разберу простые примеры вычислений полиномов ХОМФЛИ с помощью скейн-соотношений и R-матриц, обращая внимание на сходство и различие этих методов, а также на различные тонкости приложения метода R-матриц к явному вычислению полиномов узлов. Затем я кратко сформулирую, с какими проблемами мы столкнулись, применяя этот метод, и как именно нам удалось продвинуться в их решении.