Аннотация:
Проблема Бернсайда о периодических группах была поставлена в 1902 году и заключалась в простом и естественном вопросе: «Будет ли группа конечной, если она порждается конечным числом элементов и в ней выполняется некоторое тождественное соотношение $x^n=1$?» По существу здесь речь идет о связи между периодичностью и конечностью в терминах теории групп. Проблема сводится к вопросу о конечности свободных бернсайдовых групп $B(m,n)$, задаваемых тождеством $x^n=1$. Отрицательное решение проблемы Бернсайда было получено в серии совместных работ докладчика и П. С. Новикова в 1968 году. Тогда нами была доказана бесконечность нециклических периодических групп для всех нечетных периодов $n>4381$. Для решения проблемы Бернсайда мы с П. С. Новиковым создали новый метод, который позже был усовершенствован мной и другими авторами. Сам результат был усилен мной до любых нечетных $n>664$ (1975 год) и И. Г. Лысенком – до любых $n$, начиная с 8000. Созданный метод позволил также решить ряд других старых трудных проблем теории групп. Все эти результаты получены российскими учеными. В докладе рассказано об истории вопроса и дан обзор всех полученных результатов.
Здесь уместно упомянуть, что один из создателей комбинаторной теории групп – выдающийся американский алгебраист Вильгельм Магнус – в своей монографии по истории комбинаторной теории групп (Springer-Verlag, 1982) писал: «Само собой напрашивается сравнение влияния проблемы Бернсайда на комбинаторную теорию групп с влиянием последней теоремы Ферма на развитие алгебраической теории чисел …».
|
