Аннотация:
В докладе будут рассмотрены два известных класса разрешимых групп экспоненциального роста: группы Баумслага-Солитэра $BS(1,n)=\langle a, t \mid t a t^{-1} = a^n \rangle$
и ограниченного сплетения $L_n=(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\wr\mathbb{Z}$ циклической группы порядка $n$ с бесконечной циклической группой.
В 90-х годах в совместной работе Гилла, Коллинза и Эджвета была вычислена функции роста группы $BS(1,n)$ относительно множества порождающих $\{a,t\}$, а в работе Пэрри
была вычислена функция роста для группы $L_n$. Но долгое время оставалось незамеченным, что соответствующие показатели экспоненциального роста групп $BS(1,n)$ и $L_n$ совпадают для каждого нечётного $n$.
В совместной работе докладчика и М.Бюшер доказано, что для $n$, являющегося простым числом, минимальные показатели роста $BS(1,n)$ и $L_n$
достигаются на стандартных множествах порождающих, а значит, совпадают при $n \ne 2$.
Оказывается, что причиной этого равенства является то, что группы $BS(1,n)$ и $L_n$ похожим образом действуют на деревьях.
В случае $n=2$ показатели роста $BS(1,2)$ и $L_2$ не совпадают, и для группы $L_2$ соответствующее значение оказывается равным $\varphi=(1+\sqrt5)/2$, что дает ответ на вопрос А.Манна о том, является ли $\varphi$ оптимальной нижней оценкой показателей роста для HNN-расширений, не являющихся полупрямыми произведениями.
|
