Расширения степени $5$, кубические гиперповерхности и коварианты (по работам D. Coray и H. Kraft)

Я расскажу о существовании порождающего элемента с минимальным многочленом достаточно простого вида в сепарабельных расширениях $K / k$ степени 5 с некоторыми ограничениями на характеристику $k$. Это утверждение, первоначально высказанное Эрмитом, будет доказано двумя способами. Первый состоит в построении ассоциированной с расширением кубической поверхности и нахождении на ней $k$-точки. Второй способ использует технику ковариантов — морфизмов представлений — и заключается в построении коварианта тавтологических представлений $S_5$, удовлетворяющего определённым симметрическим соотношениям.