Группы $G_{n}^{2}$ с четностью и с точками

В своих работах В.О.Мантуров изучал группы $G_{n}^{k}$, заданные копредставлением, тесно связаны с инвариантами узлов, кос и динамических систем. В своей статье В.О.Мантуров и И.М.Никонов доказали, что группы крашеных кос вкладываются в эти группы, и построили инварианты кос со значениями в свободных группах.
С другой стороны, В.О.Мантуров и Д.А.Федосеев определили группу виртуальных кос $Br_{2}^{n}$ с четностью и группу виртуальных кос $Br_{2}^{n}$ с точками. Авторы доказали, что существует гомоморфизм $h$ из $Br_{2}^{n}$ в $Br_{d}^{2}$. Доказано, что $Br_{2}^{n}$ вкладывается в $Br_{d}^{n}$. Это является частным случаем следующего утверждения:
если две косы с четностью эквивалентны как косы с точками, то они эквивалентны как косы с четностью.
Оказывается, что четность на косах можно представить посредством точек. Для нас особенно важно, что у четности кос есть геометрический смысл; количество точек на косе.
В докладе мы будем обсуждать группы $G_{n}^{2}$ с структурами — четность и точки; эти группы обозначаются через $G_{n,p}^{2}$ and $G_{n,d}^{2}$. Сначала доказываем, что мономорфизм из $G_{n,p}^{2}$ в $G_{n,d}^{2}$ существуют. Более того, каждая оценка четности перекрестка косы из $n$-нитей изображена количеством зацеплений между $n+1$-нитей и другими двумя нитями, между которыми любой перекресток называется.
В заключение мы рассмотрим Бруннову косу, которая определена тем, что каждая коса, полученная из которой удалением одной нити, тривиальна.