Прямоугольные диаграммы и выпуклые поверхности в смысле Жиру

Прямоугольные диаграммы можно рассматривать как специальный класс плоских диаграмм зацеплений. Каждое зацепление представимо прямоугольной диаграммой, и верен аналог теоремы Райдемайстера о связи двух прямоугольных диаграмм эквивалентных зацеплений с помощью набора элементарных движений.
На прямоугольных диаграммах естественно вводится функция сложности, для которой, как показал И.Дынников в 2006 г., тривиальный узел распознается с помощью монотонного упрощения. Это значит, что любая прямоугольная диаграмма тривиального узла может быть приведена к самой простой лишь элементарными движениями, не увеличивающими сложность.
Прямоугольными диаграммами очень удобно также представлять лежандровы зацепления, то есть касающиеся распределения плоскостей $\ker(dz+x\,dy)$ в $\mathbb R^3$. Как показано в недавней совместной работе И.Дынникова и докладчика, распространение процедуры монотонного упрощения на произвольные зацепления тесно связано с классификацией лежандровых зацеплений данного топологического типа.
Один из основных инструментов маломерной контактной топологии и, в частности, теории лежандровых узлов — это выпуклые поверхности в смысле Жиру. Как замечено И.Дынниковым и докладчиком, для описания выпуклых поверхностей в $\mathbb R^3$ также походит «прямоугольный» язык. С помощью аналога прямоугольных диаграмм для поверхностей мы надеемся научиться различать лежандровы узлы, которые не удается пока различить никакими алгебраическими инвариантами.