Функция Беллмана в гармоническом анализе

Доклад посвящён применению идей теории оптимального управления к задачам гармонического анализа и теории вероятностей. Мы привыкли к тому, что приёмы анализа, например, оценки операторов в различных нормах и вложения классов функций, позволяют изучать уравнения в частных производных. Метод функции Беллмана действует наоборот: оценки решения определённой начально-краевой задачи влекут неравенства для функций и случайных процессов. Впервые эти идеи были разработаны Буркхольдером в начале восьмидесятых годов применительно к задачам оценки мартингального преобразования.
Мы продемонстрируем основные идеи этой области на примере задачи Буркхольдера и покажем, каким образом функция Беллмана позволяет доказывать неравенства гармонического анализа. Уравнения, описывающие функцию Беллмана, допускают простые геометрические описания решений. Например, зачастую функция Беллмана выражается в терминах дифференциально-геометрических величин, таких как кривизна или кручение кривой. Мы опишем решение одной такой задачи, соответствующей обобщению неравенства Джона – Ниренберга, и покажем, как правильная мартингальная интерпретация позволяет одновременно решить две на первый взгляд совсем не связанные задачи.