Аннотация:
Рассмотрим уравнение $y^2-61x^2=\pm 1$. Его решения самым лучшим теоретически возможным образом приближают $\sqrt{61}$, как легко поймёт любой из вас (в смысле, что рациональное число $y/x \approx 61$).
Но существуют ли они?
Оказывается, да. Но первое из них имеет вид ($y=1766319049, x=226153980$) !
Как можно (было) его найти?
Но сперва, как вообще можно понять, что решения существуют?
Оказывается, что на первый вопрос ответ даёт разложение числа $\sqrt{61}$ в цепную дробь. Ответом на второй вопрос служит красивейшая ветвь алгебры, посвящённая гиперболическим поворотам. Ключевым утверждением при этом служит знаменитая Лемма Минковского о выпуклом теле.
В этом месте сходятся и теснейшим образом переплетаются алгебра, арифметика и геометрия. На самом деле, существование решения можно доказать, как минимум, для любого уравнения Пелля вида $y^2-mx^2 = \pm 1$, где $m$ свободно от квадратов.
|
