Аннотация:
В работе http://arxiv.org/abs/1501.05208 был сформулирован общий принцип "Если для динамических систем, описывающих движение $n$ частиц, имеется хорошее свойство общего положения коразмерности 1, зависящее от $k$ частиц, то такие динамические системы имеют инварианты со значениями в группах $G_{n}^{k}$". Простейший пример отвечает динамике движения $n$ точек на плоскости.
1) В первой части я построю гомоморфизм из группы крашеных кос из $n$ нитей в обобщение группы $G_{n}^{3}$. Обычный гомоморфизм в $G_{n}^{3}$ отвечает при $k=3$ свойству "три точки лежат на одной прямой"; и описан явно в совместной работе с И.М.Никоновым: http://arxiv.org/abs/1507.03745 и рассказан в докладе "Инварианты и картинки" http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?option_lang=rus&presentid=12150
[3] [3]
2) Во второй части доклада будет построено копредставление,
сопоставляющее каждой крашеной косе $beta$ из $n$ нитей, слово $Q(beta)$ из
двух видов образующих:
стандартных образующих Артина $sigma_{i},i=1,dots, n-1$ и “новых”
образующих $a_{ijk}$, такое что
удаление новых образующих $a_{ijk}$ приводит к исходному слову,
записывающему $beta$ в образующих Артина.
Таким образом, по любой записи (крашеного) слова-косы можно однозначным
способом восстановить
“воображаемые” образующие, дающие много новой информации о классических
перекрестках классической косы.
3) В третьей части доклада будет рассказано, как описанные выше методы
переносить с кос на классические узлы
и зацепления.
Оказывается, классическому узлу $Ksubset
R^{3}$ можно сопоставить двумерный комплекс $alpha(K)$, таким образом, что
комплексы
$alpha(K),alpha(K')$, отвечающие изотопным классическим узлам, получаются
друг друга известными в
теории двумерных узлов движениями Розмана.
http://arxiv.org/abs/1604.06597 [4]
Это позволяет переносить на классические узлы инварианты двумерных
(виртуальных) узлов.
Описанные выше темы породили множество задач, как в теории групп, так и в
маломерной топологии и геометрии.
|
