Аннотация:
Доклад основан на недавнем препринте автора arXiv: 1606.00453v2.
Пусть $M^2_{g,k}$ и $M^2_{g',k'}$ — компактные римановы поверхности с проколами ($g,g'\ge 0$ — рода, $k,k'\ge 1$ — количество проколов). Для любого Хаусдорфова пространства $X$ фактор-пространство $\Sym^nX := X^n/S_n$ есть $n$-я симметрическая степень $X, \ n\ge 2$. Хорошо известно, что $\Sym^n M^2_{g,k}$ является гладким квази-проективным многообразием. Открытые многообразия $\Sym^n M^2_{g,k}$ и $\Sym^n M^2_{g',k'}$ являются гомотопически эквивалентными тогда и только тогда, когда $2g+k=2g'+k'$.
Гипотеза. {\it Пусть даны $n\ge 2$ и две пары $(g,k)$ и $(g',k')$ с условием $2g+k=2g'+k'$. Тогда если $g\ne g'$, то открытые многообразия $\Sym^n M^2_{g,k}$ и $\Sym^n M^2_{g',k'}$ негомеоморфны.}
Эта гипотеза была сформулирована в 2003 году сербскими математиками P.$\,$Blagojević, V.$\,$Grujić и R.$\,$Živaljević в статье, в которой и была ими доказана в случае $n\le 2\mathrm{max}(g,g')$ (в частности, для $n=2$). Авторы гипотезы использовали вычисление чисел Бетти открытого многообразия $\Sym^n M^2_{g,k}$ на бесконечности. А именно, они показали, что $n$-е числа Бетти (на бесконечности) многообразий $\Sym^n M^2_{g,k}$ и $\Sym^n M^2_{g',k'}$ различны, если $n\le 2\mathrm{max}(g,g')$.
В той же статье показано, что все числа Бетти (на бесконечности) многообразий $\Sym^n M^2_{g,k}$ и $\Sym^n M^2_{g',k'}$ совпадают при $n > 2\mathrm{max}(g,g')$. Насколько известно автору, Гипотеза в случае $n > 2\mathrm{max}(g,g')$ оставалась открытой (в ответ на мой запрос, R.$\,$Živaljević подтвердил это).
Цель доклада — представить доказательство данной гипотезы. Отметим, что наше доказательство не использует результат авторов гипотезы. Метод доказательства опирается на свойство топологической инвариантности классов Штифеля-Уитни открытых гладких многообразий конечного гомотопического типа. Хорошо известна гомотопическая инвариантность классов Штифеля-Уитни гладких замкнутых многообразий. Для открытых многообразий это свойство не имеет места: даже $w_1$ не является гомотопическим инвариантом (открытый цилиндр и открытый лист Мёбиуса). В доступных автору источниках он не нашел доказательства требуемой топологической инвариантности и получил доказательство данного свойства.
Доказательство гипотезы использует тот факт, что класс $w_2$ различает многообразия $\Sym^n M^2_{g,k}$ и $\Sym^n M^2_{g',k'}$ во всех случаях. А именно, если $2g+k=2g'+k'$ и $g\ne g'$, то при любом изоморфизме колец $\varphi:H^*(\Sym^n M^2_{g,k};\Z_2) \to H^*(\Sym^n M^2_{g',k'};\Z_2)$ выполнено $\varphi(w_2(\Sym^n M^2_{g,k})) \ne w_2(\Sym^n M^2_{g',k'})$.
Обратим внимание, что как показал автор используя комплексную структуру на многообразиях $\Sym^n M^2_{g,k}$, все целочисленные классы Понтрягина этих многообразий равны нулю.
|
