Аннотация:
Известно, что все комплексные неприводимые представления нильпотентных конечных групп мономиальны, то есть индуцированы с характеров подгрупп. Кириллов и Диксмье независимо доказали аналогичное утверждение для унитарных неприводимых представлений связных нильпотентных групп Ли. Будет обсуждаться доказательство гипотезы А. Н. Паршина, утверждающей, что комплексное неприводимое представление нильпотентной конечно порождённой группы мономиально тогда и только тогда, когда оно является представлением с конечным весом (при этом на представлениях не рассматривается никакой топологической структуры). Представление $\pi$ группы $G$ называется представлением с конечным весом, если существуют такие подгруппа $H \subset G$ и её характер $\chi \colon H \rightarrow \mathbb{C}^{*}$, что векторное пространство $\operatorname{Hom}_{H}(\chi,\pi\vert_{H})$ непусто и конечномерно.
В качестве вспомогательного результата будет показано, что для широкого класса индуцированных представлений имеет место обратное утверждение к лемме Шура. А именно, верно следующее утверждение: пусть $H$ — нормальная подгруппа произвольной группы $G$. Пусть $\rho$ — такое комплексное неприводимое представление группы $H$, что конечно индуцированное представление $\operatorname{ind}^{G}_{H}(\rho)$ удовлетворяет условию $\operatorname{End}_{G}(\operatorname{ind}^{G}_{H}(\rho))=\mathbb{C}$. Тогда представление $\operatorname{ind}^{G}_{H} (\rho)$ неприводимо. Будут приведены примеры неиндуцированных неприводимых представлений группы Гейзенберга над кольцом целых чисел.
|
