Аннотация:
В докладе (основанном на препринте https://arxiv.org/abs/1610.05754 )
планируется рассказать о Морита 2-снопах расслоений (функторах из группоида Чеха в 3-группу
Брауэра-Пикара). В частности, доказать теорему о том, что они (с точностью до естественной эквивалентности)
классифицируются группой когомологий $H^4(X,\, \mathbb{Z}).$ Доказательство основано на двух идеях:
во-первых, гомотопический функтор, сопоставляющий пространству $X$ группу 2-$MBG(X)$ классов эквивалентности Морита
2-снопов расслоений, представим (по теореме Брауна); во-вторых, имеется естественный по $X$ изоморфизм функторов
2-$MBG(\Sigma X)\rightarrow MBG(X)$. Заметим, что последний факт является следствием того, что если Морита 2-сноп тривиален,
то две его тривиализации отличаются на Морита 1-сноп и является обобщением результата о том, что (обычные) снопы расслоений
над трехмерной сферой классифицируются (с точностью до эквивалентности) классами изоморфизма линейных расслоений
над ее экватором.
Хотелось бы также успеть рассказать о применении аналогичных идей к изучению более тонкого гомотопического инварианта
— группы классов эквивалентности расслоений над $X$ со слоем матричная алгебра, где два таких расслоения эквивалентны,
если они становятся изоморфными после тензорного умножения на некоторые тривиальные расслоения матричных алгебр.
Это отношение эквивалентности более тонкое, чем обычная Морита-эквивалентность. Для того, чтобы применить предыдущие методы,
нужно определить категорию, объектами которой были бы расслоения матричных алгебр над $X$, а классами их изоморфизма
(в смысле этой категории) — определенные выше классы эквивалентности. В частности, такие изоморфизмы не обязательно
сохраняют размерность расслоений. Кроме того, два расслоения одинаковой размерности могут быть неизоморфными в
обычном смысле, но изоморфны в смысле нашей категории. Для того, чтобы описать такие изоморфизмы, был определен класс бимодулей,
названных “жесткими”. Далее для построенной категории можно определить соответствующие снопы.
Website:
https://arxiv.org/abs/1610.05754
Цикл докладов
|
