Аннотация:
Будут исследованы такие объекты как случайные операторы, случайные полугруппы и их итерации. Для последовательности композиций $n$ независимых одинаково распределенных случайных полугрупп операторов изучается асимптотика отклонения композиции от ее математического ожидания при $n\to \infty$.
Для последовательностей $S_n={1\over n}\sum\limits_{k=1}^n\eta _k,\, n\in N$, сумм независимых числовых случайных величин $\eta _n,\, n\in \bf N$, закон больших чисел утверждает, что $P(\{ |S_n-MS_n |>\epsilon \})\to 0$ при $n\to \infty$ для любого числа $\epsilon >0$, где $MS_n $ – математическое ожидание случайной величины $S_n $ и $P(\{ |S_n-MS_n |>\epsilon \})$ – вероятность отклонения случайной величины $S_n$ от ее математического ожидания более чем на $\epsilon$. Для последовательности $\{U_n\}$ независимых случайных величин со значениями в множестве однопараметрических полугрупп линейных операторов в гильбертовом пространстве $H$ ставится вопрос об асимптотическом поведении последовательности усредненных композиций $U(n)={U}_n^{1\over n}\circ ...\circ U_1^{1\over n},\, n\in N$.
Будем говорить, что для последовательности $\{ { U}(n)\} $ усредненных композиций случайных полугрупп со значениями в банаховом (локально выпуклом) пространстве операторнозначных функций $X$ выполняется закон больших чисел, если вероятность того, что отклонения композиции ${ U}(n)$ от ее математического ожидания по норме пространства $X$ (по какой-либо полунорме из семейства порождающих топологию полунорм) превосходит некоторое положительное число $\epsilon >0$, стремится к нулю при $n\to \infty$.
Установлены условия на случайные полугруппы операторов, достаточные для выполнения закона больших чисел; приведены примеры случайных полугрупп операторов, для которых закон больших чисел не выполнен.
|
