Обобщение многогранников Ньютона, полугруппы целых точек, градуированные алгебры, теория пересечений и смешанные объемы

В докладе будет рассказано о выпуклых телах Ньютона, обобщающих многогранники Ньютона. Выпуклое тело Ньютона определяется для полугруппы целых точек. Оно отвечает за асимптотическое поведение числа точек в полугруппе. Выделяется широкий класс градуированных алгебр, имеющих $Z^{n+1}$-значные нормирования. Каждой алгебре этого класса сопоставляется полугруппа в $Z^n$ и ее выпуклое тело Ньютона. Эта конструкция показывает, что функции Гильберта широкого класса градуированных алгебр имеют степенные асимптотики, а их коэффициенты роста удовлетворяют неравенству Брунна-Минковского. Будет рассказано о новом бирационально инвариантном аналоге теории пересечений на неполных алгебраических многообразиях. В рамках этой теории находится широкое обобщение теоремы Кушниренко, алгебраические аналоги неравенств Александрова–Фенхеля, новый вариант теоремы Ходжа об индексе. Эти результаты дают элементарное и прозрачное доказательство классических неравенств Александрова–Фенхеля из выпуклой геометрии.
Для понимания доклада не требуется никаких специальных знаний.