Аннотация:
Компактное подмножество $S$ комплексной плоскости называется K-спектральным для
оператора $T$ в гильбертовом пространстве, если для любой рациональной функции $r$, норма $r(T)$
оценивается через $\max_S |r|$. Более сильным является условие, что $T$ подобен оператору, обладающему
нормальной дилатацией, спектр которой – подмножество границы $S$. В этом случае говорят, что $S$ – вполне
K-спектральное множество для оператора $T$.
В докладе будет исследован вопрос, когда из того, что операторы $f_j(T)$ - сжатия
или подобны сжатиям, где $f_1$, ... , $f_N$ - аналитические функции на $S$, следует, что $S$ –(вполне)
K-спектральное множество для $T$. В частности, будет показано, что во многих случаях пересечение вполне K-спектральных множеств вполне K-спектрально. Мы объясним, как задача сводится к задаче о порождении алгебры
$H^\infty$. Ее решение связано с применением техники разделения особенностей ограниченных аналитических
функций В.П. Хавина и А. Нерсесяна.
Также будет дано обобщение результата Б. и Ф. Делиона о существовании
дилатации оператора в его численный образ на случай невыпуклого множества и
достаточные условия подобия нормальному оператору в случае спектра на кривой.
Результаты получены совместно с Майклом Дритчелом и Даниэлем Эстевесом.
|