Интегральная теорема Коши в арифметике и аддитивной комбинаторике

Доклад будет состоять из двух частей: первая часть посвящена так называемым явным формулам символа Гильберта и их получению на примере многочленной формальной группы. Это классический вопрос из теории чисел, обобщающий элементарный квадратичный закон взаимности.
Во второй части рассматриваются различные обобщения и подходы к комбинаторной теореме о нулях, а также ряд приложений к комбинаторике и вопросам о свободных членах некоторых многочленов Лорана, берущим своё начало в статистической физике.
Хорошо известно, что комбинаторная теорема о нулях может быть использована, в частности, для получения короткого и элегантного доказательства теоремы Коши–Дэвенпорта о множествах сумм над полем. В докладе будут представлены новые версии комбинаторной теоремы о нулях: в виде явной формулы на коэффициент многочлена для мультимножеств (с помощью эрмитовой интерполяции), а также в классическом виде для гиперповерхностей. Классический подход Н. Алона к теореме Коши–Дэвенпорта будет обобщен для получения новых и уже известных результатов про размеры различных множеств сумм с ограничениями.
Также речь пойдёт о нахождении свободного члена многочленов Лорана, одним из известных таких соотношений является формула Дайсона. Несмотря на алгебраическую формулировку, данная формула тесно связана с теорией случайных матриц, статистической физикой (моделью Дайсона броуновского движения) и другими областями.
Недавно был обнаружен новый почти элементарный подход к формуле Дайсона с помощью «комбинаторной теоремы о нулях», сводящий её к простой комбинаторной задаче. Удивительным образом данный подход с такой же (или даже большей) лёгкостью применим к $q$-версии формулы Дайсона, известное доказательство которой было значительно сложнее доказательства версии $q=1$. Этот результат мы обобщаем для получения элементарных доказательств соотношений Морриса и Аомото, а также для получения положительного ответа на гипотезу Форрестера, поставленную в 1995 году и, как и формула Дайсона, имеющую значение для статистической физики. С помощью той же техники мы получаем соотношения, обобщающие формулы Аомото и Форрестера одновременно, а также $q$-версии всех описанных соотношений.