Аннотация:
Рассмотрим сумму двух эрмитовых матриц $A$ и $B$. Это снова будет эрмитова
матрица. В 1912 году Герман Вейль задался таким вопросом: что можно
сказать о ее собственных значениях, если известны собственные значения
матриц $A$ и $В$? Во-первых, ясно, что след $A+B$ будет равен сумме следов
исходных матриц; во-вторых, наибольшее собственное значение $A+B$ не
превосходит суммы наибольших собственных значений $A$ и $B$. А какие еще
есть ограничения?
В 1962 году Альфред Хорн выписал ряд неравенств на собственные значения
матриц $A$, $B$ и $A+B$ и сформулировал гипотезу о том, что это полный набор
условий. В 1999 году А. А. Клячко свел эту гипотезу к так называемой
гипотезе о насыщении, которая вскоре после этого была доказана Алленом
Кнутсоном и Терри Тао. Они же предложили описание неравенств Хорна при
помощи комбинаторных диаграмм, называемых сотами (honeycombs).
Эти диаграммы – и неравенства Хорна – имеют самое прямое отношение к
теории представлений полной линейной группы $GL(n)$, а также к исчислению
Шуберта на грассманианах. Они, в частности, позволяют свести задачу о
разложении тензорного произведения двух представлений $GL(n)$ на
неприводимые компоненты к чисто комбинаторной задаче подсчета “пазлов” –
замощений треугольника элементами мозаики определенного вида. Это дает
новую интерпретацию такого классического комбинаторного сюжета, как
правило Литтлвуда–Ричардсона. Я постараюсь объяснить, как связаны между
собой эти задачи, а если останется время, расскажу о других
геометрических задачах, в которых возникают соты и пазлы.
