Аннотация:
Мы рассматриваем случайное поле размерности $d$,
являющееся решением возможно нелинейной системы стохастических
дифференциальных уравнений, таких как стохастические уравнения
теплопроводности и волновые уравнения. Мы расскажем о верхней и
нижней границах для вероятностей достижения этим полем
неслучайного множества в $\mathbb{R}^d$ в терминах соответственно
хаусдорфовой меры и ньютоновского объема. Эти границы определяют
критическую размерность, при превышении которой точки становятся
полярными, но не определяют вообще говоря являются ли точки
полярными в критической размерности. Для линейной системы
стохастических уравнений в частных производных, в совместной
работе с Карлом Мюллером и Юимин Ксяо мы определяем природу
полярности точек для критической размерности. Кроме того, мы
ставим вопрос о существовании кратных точек в критических
размерностях.
|