Аннотация:
Гипотеза В.Я.Иврия (1980) утверждает, что в любом бильярде с гладкой
границей множество периодических
орбит имеет меру нуль. Эта гипотеза тесно связана со спектральной
теорией. Ее частный случай для треугольных
орбит был доказан М.Рыхликом (1989 г, в размерности два) и Я.Б.Воробцом
(1994 г., в любой размерности) и
другими математиками. Случай четырехугольных орбит в размерности два был
разобран в совместной работе
Ю.Г.Кудряшова и докладчика (2012 г.) Будет рассказано о недавних работах
докладчика о комплексной версии гипотезы Иврия, с отражениями
относительно голоморфных кривых на комплексной проективной плоскости.
Получена полная комплексификация четырехударных комплексных
контрпримеров: четверок голоморфных
кривых, таких что соответствующий комплексный бильярд имеет
двухпараметрическое семейство
четырехугольных орбит. Этот результат имеет применения к другим
родственным задачам о вещественных бильярдах. А именно, доказана
двумерная гипотеза С.Л.Табачникова, утверждающая, что
если два вложенных выпуклых бильярда на плоскости порождают
коммутирующие бильярдные преобразования
пространства ориентированных прямых, то это — софокусные эллипсы. А
также доказан четырехударный плоский частный случай гипотезы А.Ю.Плахова
о невидимости.
|
