Проблема Ньюмана–Шапиро и задачи спектрального синтеза в пространстве Фока

В 1966-м году Д. Ньюман и Х. Шапиро поставили следующую задачу. Пусть $G$ функция из пространства Фока такая, что $e^{zw}G\in\mathcal{F}$ для любого $w\in\mathbb{C}$. Верно ли, что
$$ \operatorname{Span}\{FG: FG \in \mathcal{F}\}=\operatorname{Span}\{e^{wz}G : w\in\mathbb{C}\}? $$
Автору недавно (совместно с А. Боричевым) удалось построить контрпример к этой гипотезе. С другой стороны, нам удалось показать, что для регулярных функций $G$ гипотеза верна. Эти результаты тесно связаны с проблемами спектрального синтеза в пространстве Фока.