Аннотация:
Широко известно, что биллиард, ограниченный дугами софокусных квадрик, интегрируем. Можно рассмотреть естественное обобщение данной динамической системы, а именно конструкцию так называемого топологического (обобщенного) биллиарда. Склеим две плоские области по общему сегменту границы. Биллиардная траектория в одной области, попадая на сегмент склейки, после отражения продолжает движение уже по другой области. В случае если сегмент склейки – выпуклый, полная лиувиллева классификация была сделана ранее. Оказалось, что такие биллиарды моделируют очень многие интегрируемые случаи динамики твердого тела (это было установлено из совпадения инвариантов Фоменко-Цишанга лиуивллевой эквивалентности). Если же сегмент склейки невыпуклый, то на некотором уровне интеграла траекторию, попавшую на сегмент склейки определить нельзя (речь идёт о траектории, которая попадает на сегмент склейки по касательной). Однако, слоение Лиувилля по-прежнему корректно определено.
В докладе будет дана классификация всех топологических биллиардов, полученных склейками плоских областей как вдоль выпуклых, так и вдоль невыпуклых сегментов грани. Для каждого биллиарда будет представлен инвариант Фоменко-Цишанга – меченая молекула.
|
