Аннотация:
Оценки $k$-го собственного значения $\lambda=\lambda_k(\Omega)$ оператора Лапласа $-\Delta u =\lambda u$ в ограниченной области $\Omega\subset\R^n$ представляют значительный интерес. Этот вопрос интенсивно изучается математиками и физиками с давних времен, во всяком случае с "Теории звука" Рэлея
(J. W. S. Rayleigh (1877)). Первоначально внимание было уделено краевым условиям первого (задача Дирихле) и второго рода (задача Неймана). Было доказано, что первое собственное число минимизируется для задачи Дирихле (G.Faber (1923), E.Krahn (1924)) и максимизируется для задачи Неймана (G.Szegö (1954), H.F.Weinberger (1956)) на шаре среди областей с фиксированным объемом. Что же касается третьего краевого условия $\frac{\partial u}{\partial\nu}+\alpha u=0,$ где $\nu$ — внешняя нормаль к $\partial\Omega$, называемого также условием Робена (в честь французского математика Victor Robin (1855 – 1897)), то основные работы на эту тему появились сравнительно недавно.
Интерес представляют оценки $\lambda_k^\alpha(\Omega)$ через
$\lambda_k^\alpha(B)$, где $B$ — шар, граница которого имеет тот же объем, что и граница области $\Omega$, т.е. $|Vol_{n-1} (\partial B)|=|Vol_{n-1}(\partial \Omega)|.$
В докладе обсуждается гипотеза
\begin{equation*}
\lambda_1^\alpha(\Omega)\le \lambda_1^\alpha(B)\,,\quad\text{если}\quad \alpha\le 0
\quad\text{и}\quad |Vol_{n-1} (\partial B)|=|Vol_{n-1}(\partial \Omega)|\,.
\end{equation*}
Будет доказана справедливость этой гипотезы для областей в $\mathbb{R}^3$ в случае, когда граница диффеоморфна сфере и для областей в $\mathbb{R}^n$ для произвольного $n$ при некоторых ограничениях на среднюю кривизну границы.
|
