О полной интегрируемости двумеризованных полевых теорий Тода

С каждой простой алгеброй $\mathfrak{g}$ ранга $r$ можно связать двумеризованную полевую теорию Тоды вида:
\begin{equation}\label{eq:1}\begin{split} \frac{\partial^2 \vec{q}}{\partial t \partial x } = \sum_{\alpha \in \delta_0}^{} \alpha e^{(\vec{q}, \alpha)}. \end{split}\end{equation}
Здесь $\delta_0$ система допустимых корней $\mathfrak{g}$. Система (1) допускает представление Лакса в виде:
\begin{equation}\label{eq:}\begin{split} L \psi \equiv i \frac{\partial \psi}{ \partial x } + (q_x(x,t) -\lambda J) \psi(x,t,\lambda)=0, \end{split}\end{equation}
где функция $q_x = \sum_{k=1}^{r} q_{j,x} H_j$ принимает значения в Картановской подалгебре $\mathfrak{h}\in \mathfrak{g}$ а $J = \sum_{\alpha \in \delta_0}^{}E_\alpha$. Решение обратной задачи рассеяния для $L$ основано на построении фундаментальных аналитических решений $\chi_k(x,t,\lambda)$ и изучении соответствующей задачи Римана-Гильберта. Показано, что переход от потенциала $q_x(x,t)$ к минимальному набору $\mathcal{T}$ данных рассеяния $L$ является обобщенным преобразованием Фурье. С его помощью удается найти выражения для переменных действия–угол через элементы $\mathcal{T}$.
Часть этих результатов опубликована в [1]
[1] V. S. Gerdjikov, A. B. Yanovski. CBC systems with Mikhailov reductions by Coxeter Automorphism. I. Spectral Theory of the Recursion Operators. Studies in Applied Mathematics 134 (2), 145–180 (2015). DOI: 10.1111/sapm.12065.